Законы распределения времени между отказами
Экспоненциальный (показательный) закон. Во всех случаях, когда относительная скорость снижения вероятности
dP
безотказной работы Ці) = — 0/л — остается постоянной, время безотказной работы распределено по экспоненциальному за-
— Гх (о at
кону. В этом случае выражение Р(() = е 0 упрощается
и принимает вид
P(t) = e~U.
Для экспоненциального закона вероятность безотказной работы на данном интервале /, t-pAt не зависит от времени предшествующей работы t, а зависит только от длины интервала АЛ Иными словами, если нам известно, что в данный момент элемент работоспособен, то будущее его поведение не зависит от прошлого.
Это очень важное свойство экспоненциального закона. Оно может быть хорошо выявлено из рассмотрения условной вероятности того, что элемент, проработав безотказно до момента t, также не откажет за интервал работы /, t -j — А Л Как известно, эта условная вероятность будет равна
Это свойство систем (элементов) отказывать в будущем независимо от времени наработки полностью проявляется иа участке II течения кривых *•*(/)> (0 (см. рис. 3.6), кото
рый характерен тем, что к его началу элементы в полной мері — прошли приработку, а влияние износа Vie сказывается на протяжении всего участка. Этот участок должен быть дли любых элементов периодом нормальной эксплуатации, когда элементы систем могут отказать только внезапно в резуль — 1.1 іе случайной концентрации нагрузок, имеющих местный характер. Длительность этого периода различна в зависимос — III от степени совершенства конструкции устройства. Чем раньше начинается этот период н чем больше его продол ж и — п льность, тем выше безотказность элемента.
На основании формулы (3.2І) действие экспоненциального закона безотказности распространяется на весь второй участок. Это значит, например, что вероятность безотказной работы для первых 10 час работы на участке II равна вероятности безотказной работы заключительных 10 час работы (перед моментом роста интенсивности отказов).
Таким образом, в пределах периода нормальной эксплуатации P(t, /ф-Д£) = const при условии, что все предшествующее. время элементы работали безотказно.
Для экспоненциального закона безотказности вероятность отказа за время t равна Q(/) = —ё, а плотность вероятности отказов /(/) = Среднее время безотказной рабо
ты и наработка на отказ для этого распределения равны
£С(, = ~Г = а вероятность безотказной работы можно
записать так: «
г __
/>(/) = <? ‘ср; Р(1)~е г. (3.22)
На рис. 3.12 изображен график вероятности безотказной работы устройства Р(І) как функция времени работы і. Вре-
86
ми работы устройства t есть время какого-либо произвольно выбранного периода эксплуатации в пределах участка II (в пределах межремонтного ресурса). В общем случае t=0 есть начало этого периода, а не обязательно момент времени, когда устройство начинает эксплуатироваться после его изго — мшления (это частный случай). Время на этом графике, построенном по формуле (3.22), измеряется в единицах времени работы элемента в течение произвольно выбранного периода независимо от того, сколько элемент уже проработал до этого периода. Это позволяет рассчитать вероятность безотказной работы устройства в течение любого промежутка времени в пределах межремонтного ресурса.
Обычно требуется рассчитать вероятность безотказного выполнения летного задания определенной (заданной) длительности, которая всегда меньше периода участка II, а сле- ювательно, расчет проводится в крайне левой части кривой Iі = е~и. На этой кривой ямеются характерные точки, которые легко запомнить; они оказываются полезными, если требуется знать значение вероятности безотказной работы элемента. Эти точки имеют следующие координаты:
t
1. <=/ср; Я(<ср) = е ‘с"=0,368.
Значения перечисленных координат точек I, 2, 3, 4, 5, … на кривой Р = е ‘{ справедливы для лк>бых элементов, время безотказной работы которых распределено по экспоненциальному закону. Это свойство экспоненциального закона может быть использовано для ускоренных расчетов P(t). Например, если параметр потока отказов двухроторного ТРД «> ~ 4,3 V
1 10s
1()-J Jivac, то 7 =— — =232 час.
со 4,3
Условие /. — const характеризует стационарность времени возникновения отказов. Как было установлено выше для стационарных процессов, вероятность возникновения отказа Q(A£) не зависит от расположения А/ на временном участке X = const, а зависит только от ширины интервала At. Стационарные процессы обладают свойством эргодичности, которое имеет очень важное значение для расчета P(t) по результатам летной работы летных подразделений. Эргодическое свойство можно сформулировать следующим образом.
Если случайный процесс стационарный, то большое число наблюдений, сделанных над одной системой в произвольно выбранные моменты времени t, имеет те же статистические свойства, что и то же число наблюдений, но сделанных одновременно над большим числом систем.
Эргодическое свойство имеет важное значение для получения количественных характеристик безотказности в условиях массовой эксплуатации, т. е. в условиях работы авиационной техники в пределах ее технического ресурса (на участке II рис. 3.6).
Например, если время работы авиационной техники, за которое возникают отказы, удовлетворяет условиям стационарности, то получить статистические данные об отказах можно, провотя испытания с имеющимся в распоряжении инженера ограниченным числом самолетов. Для примера допустим, что 300 час наработки авиационной техники удовлетворяют требованиям стационарности и за это время откажут ща однотипных агрегата. Если рассматривать в качестве системы группы в составе 5 и более самолетов, то согласно эр — годичсскому свойству при налете десяти самолетов по 30 час
каждый, или при налете тридцати самолетов по 10 час каждый будут наблюдаться отказы двух агрегатов этого же мша, конечно, при условии, что эти два агрегата одного типа работают все время полета.
Таким образом, используя свойство эргодичности па участке X — const, можно по известным наработкам на отказ и продолжигельности одного вылета определять количество самолето-вылетов, в которых ожидается одни отказ интересующего нас агрегата.
Нормальный закон. В отличие от экспоненциального распределения, когда примерно около 63% отказов возникает раньше момента времени, соответствующего средней наработке на внезапный отказ, при нормальном распределении время отказов плотно группируется около среднего значення наработки на износовый отказ £cPlI.
Из рис. 3.3 видно, что наибольшее число нзносовых отказов происходит во время, близкое к среднему значению? срн — Поэтому для достаточно большого времени работы элемента нзносовые отказы являются практически невозможными событиями. Например, для периода эксплуатации от *=0 до t— —- tcPH — Зо вероятность износового отказа не более Q (/) = —0,00135, т. е. отказ практически невозможен.
На рис. 3.3 показан характер изменения плотности нормального распределения
Тогда вероятность отказа из-за износа будет равна
|
С-^Ри)2 |
а вероятность безотказной работы
Неопределенный интеграл вида е z ds не выражается
через элементарные функции, поэтому, для того чтобы опредо лить Яи(0 и Q„(/), в формуле (3.23) заменяем переменную
t — *сри
/на s ———— —— и получаем
і
•Ms) = — J=-(V 2 da, (3.2-1)
К 2* J
с
где Фф (s) —- интеграл вероятности или функция Лапласа.
|
Рис. 3.13. График плотности распределения времени до отказов из-за износа системы /и.(/) |
Значения этой функции приведены в справочниках по вероятностным расчетам (например, [10] табл. Ш). Используя значения, приведенные в таблице, получаем
<?„(() = 0,5 ±Ф0(«), (.3.25)
где
Пример расчета Q„(/) по формуле (3.25) и рис. 3.13.
Дано: £СР|| *= 107 час; о = 2,1 час.
1. Задаемся: tx = 109 час; £> = 105 час; t3 = 103 час.
2.Из справочника [10] табл. III получаем |ПО 107
——— = +0,955, по таблице 0,955 лоответствует 0,3302,
Z, I
Qu (109) =* 0,5 + 0,3302 = 0,8302;
1Ш—107^ = _0.д55^ _ 0.955 соответствует 0,3302,
"і ’
Qa (105) = 0,5 — 0,3302 — 0,1698;
I m_ 107
——— = — 1,9, — 1,9 соответствует —0,4713,
Ц„(ЮЗ) = 0,5 — 0,4713 = 0,0287.’
На рис. 3.14 показан график Рн (0, построенный по урав-
I (‘ПИЮ
ад*і-{,(0-
Из той же таблицы [10] определяем Qtl(t):
1. t = tcРи — 4т; Q„ — (tcPu ~ 4a) = 0,0000317.
2. t = /сРн5з; Qu = (4Pl| — от) = 0,000000287.
Порядок цифр в этих случаях показывает практическую невозможность отказа по износу.
|
На рис. 3.15 показаны графики /, 2 и 3, характеризующие изменение вероятностей безотказной работы элемента по ни носовым (/) н внезапным (2, 3) отказам в зависимости от и. і работки и времени функционального простоя Рис. 3.15. График идеализированного процесса эксплуатации авиационной техники |
График 1 представляет собой изменение вероятности рабо ты элемента за время t без нзносовых отказов. Время t =fcpjl — Зо есть время нормальной эксплуатации, когда веро ятность нзносовых отказов незначительна нР,,(/)~1. Врс мя работы элемента в пределах от f=0 до t~tcРя — Зо явля
стся его техническим ресурсом.
График 2 характеризует изменение вероятности безотказ пой работы элемента без нзносовых отказов в случае, если пи протяжении времени t нет никакого выявления и устранения
появившихся в полете внезапных отказов. Такое протекание!*„ (І) характеризует изменение безотказности невосстанав — .ишаемых элементов, т. е. после каждого отказа элемент не восстанавливается и в дальнейшем в опыте не участвует (самолет, на котором установлен отказавший элемент, из дальнейшего наблюдения исключается).
График 3 характеризует изменение вероятности безотказной работы восстанавливаемого элемента без нзносовых откати. ‘Изменение безотказности за время полета tn показано участком а—б экспоненты (t).
Из определенной начальной совокупности элементов за время полета tn откажет определенное число элементов п, которое в процентном отношении будет равно длине каждого а і вертикальных участков б—в, г—д, е—ж и т. д. Если все *ги отказавшие элементы за время полета tn будут восстановлены в период между полетами, то каждый последующий (после восстановления) полет начнется при значении Яь(0, близком к единице. Таким образом, пилообразная кривая 3 является несколько идеализированной характеристикой безотказности восстанавливаемого элемента. Идеализация состоит в том, что, во-первых, восстановление отказавшего элемента происходит мгновенно (линии б—в, г—д и т. д. параллельны оси P(t)) и, во-вторых, каждое восстановление отказавшего элемента происходит способом ремонта, регулировки (а не способом замены на новые), об этом свидетельствует положение точек в, д, ж… на кривой 1, характеризующей необратимое изменение безотказности по износу Р„ (t). При замене отказавших элементов новыми точки в, д, ж, … лежали бы на линии, параллельной оси времени Рк (t) = 1.
Реальный процесс эксплуатации технических устройств кюбражен на рис. 3.16. Из этого рисунка видно, что реальное восстановление отказавших элементов происходит во времени (не мгновенно) двумя существенно отличными способами. Первый способ восстановления (кривые б—в, е—ж, …) — чо восстановление замений отказавших элементов на новые, кпрошо приработанные, еще не бывшие в эксплуатации элементы. Этот способ дает стопроцентное восстановление и в ьлждый последующий полет самолет выпускается с вероятно! тью P(t) — . Второй способ — это восстановление ремон — IOM нлн регулировкой (кривые б—а, д—з, В этом случае
вероятность безотказной работы от восстановления к восстановлению снижается за счет необратимого процесса износа.
Выпуск самолета в каждый следующий за восстановлением полет Происходит С вероятностью Pn(t)— 1 — Q, 1 (t), т. е. Р„ (t)* 1
|
Рис. 3.16. График реального процесса эксплуатации авиационной техники |